1.4. 1계 비선형 - 동차미분방정식 : 변수분리 심화형

다음은 변수분리의 심화형인 동차미분방정식이다.

왜 심화형이냐면, 변수분리해서 풀 수는 없지만 변수를 살짝 변환하면 변수분리형으로 풀 수 있기 때문이다.

1.4.1. 동차미분방정식 요약

동차미분방정식 (homogeneous differential equation)
: 변수분리하여 풀 수는 없지만, 변수변환을 거쳐 변수분리형으로 풀 수 있는 미분방정식
y=vx 로 변환

 

1.4.2. 동차미분방정식 정의

 

$$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 $$

 

위 식에 대해 적당한 실수 n이 있어서 아래와 같은 조건을 만족하면 위 식을 동차미분방정식이라고 한다.

 

$$ M(tx,ty)=t^{n}M(x,y)$$

$$ N(tx,ty)=t^{n}N(x,y) $$

 

이때 M(x,y)와 N(x,y)를 n차 동차함수(homogeneous equation)이라고 한다.

 

말을 이렇게 써놓으니까 좀 어려워 보일 수도 있다.

동차는 말 그대로 차수가 같다는 말이다.

그냥 x²y², x³y, y⁴ 이런 애들은 모두 4차로 동차이고,

√(xy), y, x 이런 애들 모두 1차로 동차라는 이야기다.

위의 예시처럼 M,N의 "모든" 항들의 차수가 같으면

적당한 t를 곱해서 변수분리가 가능하게 만들 수 있다는 말.

 

1.4.3. 동차미분방정식 풀이법

 

$$y=vx$$
$$dy=vdx+xdv$$
y를 vx로 치환해서, y를 없애고 v와 x에 관한 식으로 정리한 다음 변수분리하여 풀이. 

 

풀이법을 간단히 요약하면 위와 같다.

임의의 동차미분방정식에서 y=vx로 변환하면 어떻게 변수분리가 되는지 과정이 궁금하다면 더보기.

 

M(x,y)와 N(x,y)가 동차함수임을 이용하면,

$$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=-\frac{x^{n}M(1,\frac{y}{x})}{x^{n}N(1,\frac{y}{x})} $$

 

이걸 다시 쓰면, dy/dx가 아래처럼 y/x의 함수가 되었다.

 

$$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= F(\frac{y}{x}) $$

 

좀더 간단하게 보기 위해, y/x=v로 치환한다.

 

$$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= F(v) $$ 

 

y=vx니까, 곱을 미분하면 아래처럼 나타낼 수 있다.

 

$$ y'=v'x+vx'=v'x+v $$

 

$$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}+v $$

 

이때, dy/dx=F(v)라고 했다.

대입해서 v와 x의 식으로 정리하면 아래처럼 정리할 수 있다.

 

$$ F(v)= x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}+v $$

 

$$ xdv=[F(v)-v]dx $$

 

$$ \frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x} $$

 

따라서, 변수분리가 가능해진 걸 볼 수 있다.

 

이해하기에는 예제 몇 개를 보는 편이 빨라서, 예제를 살펴보자.

 

 

1.4.4. 동차미분방정식 예제 

Example 1.4.1
다음의 함수들이 동차인가를 결정하여라.

 

$$ f(x,y)=3x-y+5\frac{x^{2}}{y} $$	동차	1차로 동차함수
$$ f(x,y)= \sqrt {x^{5}-2y^{5}} $$	동차	5/2차로  동차함수
$$ f(x,y)= x^{2}+y^{2}+1 $$	동차 아님	x², y²은 2차이지만 1은 0차로 차수가 다르므로

 

Example 1.4.2
아래 식을 풀어라
$$ (x^{4}+y^{4})dx+2x^{3}ydy=0 $$

 

y=vx , dy= vdx+xdv 이용하면,

$$ (x^{4}+x^{4}v^{4})dx+2x^{4}v(vdx+xdv)=0 $$

이때, x ≠ 0일 때, x⁴로 나누면

$$ (1+2v^{2}+v^{4})dx+2xvdv=0 $$

따라서 이것을 변수분리하면

$$ \frac{dx}{x}+\frac{2v}{(v^{2}+1)^{2}}dv=0 $$

적분하면,

$$ ln \left|x \right|-\frac{1}{v^{2}+1}=c $$

v=y/x이므로 구하는 해는

$$ ln \left|x \right|-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=c, x\neq 0 $$

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