공대생 보통의 공부기록

1.6.1. 적분인수 개념 적분인수 (integrating factor) : 주어진 미분방정식을 완전미분방정식으로 변형하기 위해 적당한 함수 μ(x,y)를 곱해줄 때, μ를 적분인수라고 함 사실 워낙 간단한 내용이라 설명할 내용도 별로 없다. 그냥 말 그대로, 주어진 미분방정식에서 1/x 같은 걸 곱해줬더니 완전미분이 되어, 완전미분으로 변형하여 푸는 방식이다. 완전미분의 연장선, 심화형으로 볼 수 있다. 적분인수를 뭘 곱해줘야 하는지는 어떻게 알지? 안타깝지만, 적분인수를 구하는 일반적인 방법은 없다. 외워놓으면 편리한 적분인수 몇 가지를 표로 소개한다. 적분인수 μ(x,y) 미분방정식 일반해 $$\frac{1}{x^2}$$ $$ \frac{ydx-xdy}{x^2}=-d\left ( \frac{y}{x..

1.5.1. 완전미분방정식 정의 완전미분방정식 (exact differential equation) : 미분방정식의 좌변이 어떤 함수 f(x,y)의 전미분이 되는 방정식 $$ \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy =0 $$ 일단 책에 쓰여있는 어려운 말부터 살펴보자. $$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 $$ 위와 같은 식에서, 아래 조건을 만족하는 f(x, y)가 존재하는 경우를 말한다. $$ M(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}, N(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y} $$ 다시 대입해서 적어보면, $$ \frac{\partial f}{\partial x} d..

다음은 변수분리의 심화형인 동차미분방정식이다. 왜 심화형이냐면, 변수분리해서 풀 수는 없지만 변수를 살짝 변환하면 변수분리형으로 풀 수 있기 때문이다. 1.4.1. 동차미분방정식 요약 동차미분방정식 (homogeneous differential equation) : 변수분리하여 풀 수는 없지만, 변수변환을 거쳐 변수분리형으로 풀 수 있는 미분방정식 y=vx 로 변환 1.4.2. 동차미분방정식 정의 $$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 $$ 위 식에 대해 적당한 실수 n이 있어서 아래와 같은 조건을 만족하면 위 식을 동차미분방정식이라고 한다. $$ M(tx,ty)=t^{n}M(x,y)$$ $$ N(tx,ty)=t^{n}N(x,y) $$ 이때 M(x,y)와 N(x,y)를 n차 동차함수(homogeneou..

대부분의 학교에서는 변수분리형 미분방정식을 가장 먼저 가르친다. 대개는 선형 1계미분방정식보다도 먼저 가르친다. 왜냐하면, 쉬우니까. 직관적이라서 그렇다. 고등학교 미적분 정도, 대학교 1학년 미적분학 정도의 지식만 있으면 바로 풀 수 있다. 1.3.1. 변수분리형 미분방정식 변수분리형 미분방정식 (Separation of Variables, Separable ODE) : 한 변에는 y만, 한 변에는 x만 오도록 정리하여 양변에 적분을 취해 풀이하는 방법 변수분리형의 아이디어는 간단하다. 위에 써놓은 것처럼, 그냥 한 변에 같은 변수만 존재하도록 정리해서 그냥 각자 적분해서 풀면 된다. 워낙 간단해서 길게 서술하지는 않겠다. 예제도 생략한다. 여기서 아래와 같은 의문이 들 수 있다. '양변의 변수가 다른..

1.2.1. 미분방정식의 정의 미분방정식 (Differential equation) : 하나의 미지함수와 그 함수의 유한개의 도함수들로 이루어진 방정식 쉽게 말하면, 미분방정식은 y, y' ... y''' 같이, "어떤 함수 & 그걸 n번 미분한 애들"로 이루어진 방정식이라는 말이다. 근데 여기서 미분되는 변수가 1개면 쉬운데, x', x'', y', y'' 같은 식으로 여러 개일 수도 있다. 그에 따라 아래와 같이 분류한다. 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE) : 미지함수가 한 변수만의 함수일 때 ex) y=f(x) 등 편미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE) : 미지함수가 두 개 이상의 변수로 이루어졌을 때 ex) z=..