1.3. 1계 비선형 - 변수분리 미분방정식

대부분의 학교에서는 변수분리형 미분방정식을 가장 먼저 가르친다.

대개는 선형 1계미분방정식보다도 먼저 가르친다.

왜냐하면, 쉬우니까.

직관적이라서 그렇다.

고등학교 미적분 정도, 대학교 1학년 미적분학 정도의 지식만 있으면 바로 풀 수 있다.

 

 

1.3.1. 변수분리형 미분방정식

변수분리형 미분방정식 (Separation of Variables, Separable ODE)
: 한 변에는 y만, 한 변에는 x만 오도록 정리하여 양변에 적분을 취해 풀이하는 방법

 

변수분리형의 아이디어는 간단하다.

위에 써놓은 것처럼, 그냥 한 변에 같은 변수만 존재하도록 정리해서 그냥 각자 적분해서 풀면 된다.

워낙 간단해서 길게 서술하지는 않겠다. 예제도 생략한다.

 

여기서 아래와 같은 의문이 들 수 있다.

 

'양변의 변수가 다른데 이렇게 맘대로 적분을 취해도 되는 건가?'

결론은, 그래도 된다.

 

아래와 같은 형태의 미분방정식이 있다고 해보자.

 

$$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{g(x)}{h(y)} $$

 

이 식은 아래와 같이 한쪽에는 y만, 한 쪽에는 x만 오게 정리할 수 있다.

 

$$ h(y)dy=g(x)dx $$

 

이때,  y=f(x)가 위 식의 해라고 하면, 아래와 같이 식이 정리된다.

 

$$ h(f(x))f'(x)=g(x) $$

 

그럼 이제 양변 모두 x에 관한 식이므로 양 변을 적분할 수 있다.

 

$$ \int h(f(x))f'(x)dx = \int g(x)dx+C $$

 

이때 y=f(x) 라고 했으니까, 다시 치환이 가능하다.

 

$$ \int h(y)dy = \int g(x)dx+C $$

 

여기서 C는 어차피 임의의 상수, 일반상수이므로 쪼개도 무방하다.

 

$$ \int h(y)dy+C_{1}=\int g(x)dx+C_{2} $$

 

이러면 그냥 양변을 각자 부정적분한 것과 같다.

결론적으로, 양변의 변수가 달라도 그냥 양변에 각자의 변수로 적분을 취해도 아무 문제가 없다.